НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Уравнение"

21), запишем систему дифференциальных уравнений для функций Ог = Ог(?

Отметим, что неоднородность в каждом из уравнений (1.

24), к счастью, состоит из п — 1 автономных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, так что решение ее легко выписывается (ясно, что оно будет нелинейным интегральным оператором над о; где , (1.

Аналогично анализируется ситуация С1Ег < О, Сг — С1 > > 0 , в которой также возможна точка переключения t = t* , определяемая теперь из уравнения OQ^*;^;^) = 0.

,- ГП * N ш1т при *Е[0, **), где точка переключения t* находится из уравнения

* находится из уравнения

Уравнение для точки переключения t* можно детализировать, используя то, что ul(t) = const ((jjls или и:гт) для t E (^, Г).

15), то для переменной у мы получим дифференциальное уравнение, не содержащее управлений иг.

Вернувшись к интегральной форме функционала и разрешив уравнение (1.

Наиболее эффективные результаты здесь были получены с использованием уравнения Беллмана.

Применим для решения задачи теорему Кротова, включающую в себе, как частный случай, и уравнение Беллмана [Кротов и др.

, представляет собой параболу с «опущенными вниз ветвями», так что операция R —>• max сводится к уравнению w

Найдем функцию (p(t,y] из уравнения

Уравнение (1.

45) представляет собой нелинейное уравнение с частными производными первого порядка относительно функции (p(t,y).

Будем искать решение этого уравнения в виде , (1.

48) — суть система двух дифференциальных уравнений типа Риккати относительно функций

49) для системы двух дифференциальных уравнений типа Риккати и последующему расчету оптимального управления w*(t,y] (в форме обратной связи) по формуле (1.

Опуская промежуточные выкладки, запишем общее решение дифференциального уравнения Риккати u(t) = ^a + (A))2 °e2 r^^ T_t-----*' (1-5.

47), получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции Ф(?

Здесь предлагается математическая модель, основанная на наиболее полных уравнениях геофизической гидродинамики (отказ от упрощений теории свободной конвекции, негидро-статичность, учет сжимаемости и всех составляющих силы

Эволюционый тип исходных уравнений позволяет построить экономичную полунеявную схему, основанную на методе расщепления.

В систему дифференциальных уравнений нестационарной трехмерной нелинейной модели включаются:

1) уравнение движения — = — gradp — 2о; х v + g + Dv, (2.

2) уравнение неразрывности

3) уравнение притока тепла at cpp at 4) уравнение переноса влаги (солености) (2.

5) уравнение состояния, записанное в общем виде, где d d д д д —

Уравнение состояния (2.

Для воды используется эмпирическое уравнение состояния [Chen e.

Опишем распространение тепла в почве уравнением теплопроводности, учитывающим многослойность почвы с различными теплофизическими свойствами: (2Л.

Преобразуя уравнения (2.

3) с помощью уравнения состояния, получим эволюционные уравнения для Тир.

Для описания процессов в атмосфере эти уравнения будут иметь

Для воды эти уравнения имеют более сложный вид.

В дальнейшем, будем рассматривать систему уравнений (2.

В соответствии с предлагаемым методом решения, используя уравнение неразрывности (2.

2), уравнения (2.

Уравнения модели интегрируются в декартовой прямоугольной системе координат с применением метода фиктивных областей.

На первом для каждой искомой функции рассматривается эволюционное уравнение вида гч / — - + Ь<ф = 0, где L =

19), получаем уравнение для давления, которое решаем методом покомпонентного расщепления по координатам.

В качестве исходного уравнения переноса и турбулентной диффузии примеси рассмотрим следующее дифференциальное уравнение в частных производных: ds д ds д ds д ds где s — концентрация субстанции, а — коэффициент неконсервативности примеси; F (ж, у, z, t) — функция, описывающая распределение и мощности источников рассматриваемой субстанции; остальные обозначения те лее, что и в §2.

Так как антисимметричная форма оператора наиболее предпочтительна при построении энергетически сбалансированных конечно-разностных аппроксимаций, то, используя уравнение неразрывности для несжимаемой атмосферы, преобразуем (2.

Для численной реализации конечно-разностных уравнений используется немонотонная прогонка [Самарский и др.

Для изучения загрязнения водоемов можно воспользоваться полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии.

Система дифференциальных уравнений в частных производных (2.

В соответствии с предлагаемым методом решения, используя уравнение неразрывности, преобразуем систему уравнений (2.

Интегрирование системы уравнений (2.

Для каждой искомой функции рассматривается эволюционное уравнение

На втором этапе получим систему уравнений

Систему уравнений (2.

6), получаем уравнение для /г, которое решаем методом матричной факторизации [Яненко, 1967].

Для моделирования распространения субстанций С в водоеме рассмотрим уравнение переноса и диффузии пассивной примеси на мелкой воде [Вольцингер и др.

Используя уравнение неразрывности, преобразуем (2.

Тогда конечноразностные аналоги уравнения (2.

Для численной реализации конечно-разностных уравнений используется немонотонная прогонка [Самарский и др.

Плотность вероятности перехода для цепи Маркова удовлетворяет интегральному уравнению Смолуховского [Колмогоров, 1938; Леонтович, 1983], решение которого при определенных предположениях относительно вероятностей перехода

Моделирование климата и геоэкология приводит к решению второго (прямого) уравнения Колмогорова: dp d[A(t,x)p] _d2[B(t,x)p] dt+ дх дх ( ' где р = p(tQ,XQ]t,x) — плотность вероятности перехода системы из состояния XQ в состояние х за время от to до t.

Перейдем в уравнении (2.

Рассмотрим возможность замыкания уравнения (2.

Для этого запишем уравнение переноса и турбулентной диффузии загрязняющей субстанции s в дивергентном виде ds duS 0s , Л ч (2-43) где j,/с = 1,3 — номер координаты; t — время; Uj — компонента скорости по соответствующей координате Xj; а — коэффициент неконсервативности примеси; Q = Q(xj,t) — функция, описывающая источники рассматриваемой субстанции; VJK — коэффициенты турбулентной диффузии.

Уравнение (2.

Усредним уравнение (2.

3) уравнение (2.

7) умножим обе части последнего уравнения на и^ (t + т] и проведем операцию усреднения на интервале Т — т:

В уравнении (2.

4), мы замыкаем уравнение для d~s dujs _ — dt j j д левая часть которого обозначена коэффициентом А в уравнении (2.

Уравнение (2.

Для численной реализации конечно-разностных уравнений использована немонотонная прогонка.

Для определения коэффициента В уравнения (2.

2) воспользуемся уравнением (3.

После этого необходимо уравнение (2.

Определив коэффициенты А и S, интегрируем уравнение (2.

В общем случае в уравнении Колмогорова функция плотности вероятности может рассматриваться как функция многих переменных.

В качестве исходного уравнения, описывающего процесс переноса и турбулентной диффузии примеси, примем, например: ds ds _ д ds д ds дх g dz ду у ду dz z dz' где ж,?

Решение исходного дифференциального уравнения (2.

Несмотря на то, что аналитические решения дифференциального уравнения, описывающего перенос и турбулентную диффузию примеси, могут быть получены при определенной стилизации атмосферных процессов, возможности их использования значительно расширяются, если взаимно однозначно связать распределение примесей с вероятностными интегральными и дифференциальными функциями распределения метеорологических параметров.

) уравнений, описывающих перенос и турбулентную диффузию примесей, найдем критическую скорость ветра.

При таком подходе многие недостатки аналитических решений, возникающие из-за упрощений исходных дифференциальных уравнений, нивелируются.

Общее решение дифференциальных уравнений радиоактивного распада для изотопов урановой серии имеет вид -4238 (t) = ^238 = Const, -4234 (t) = А§38 + (>234 - ^238) ехР (~Л234 (t -

хЭто уравнение уже использовалось ранее [Geyh e.

Решение этого уравнения дается формулой mm , _

В зависимости от конкретных значений коэффициентов уравнение (2.

Если уравнение (2.

Дифференциальные уравнения радиоактивного распада и измеренные современные уровни радиоактивности дают единственную траекторию изменения активностей (в одномерном или двумерном фазовом пространстве соответственно для U-U или

В одномерном случае кривая вырождается в точку, поэтому все U-U хронометры эквивалентны тому, в котором в качестве определяющего использовано уравнение а\ = const, т.

(t) и yf (t) г-го изотопа урановой серии в Байкале соответственно в растворенном и взвешенном виде описывается системой дифференциальных уравнений: dt

14], решая уравнение (2.

7), где первое уравнение описывает динамику концентрации кремния, а второе — динамику осаждения взвеси, позволяет предложить подход для выявления того, какой же из этих двух факторов является главным.

Полагая, что каждая фракция представляет собой замкнутую относительно изотопов тория и урана систему и считая активности ^>38 (0 = ^-238 > ^232 (0 = ^232 постоянными на рассматриваемых интервалах времени, много меньших по сравнению с периодами полураспада 238U и 232ТЪ, из приведенных выше решений дифференциальных уравнений распада

Как нетрудно видеть, уравнение (2.

4) k = = 2,401, а = 1,900, Ъ = 0,458, уравнение 2,012г^°'696 + и— 1,112 = 0 имеет корень и* = 0,282, которому соответствует возраст t = 137400 лет.

5) k = 1,072, а = 0,901, Ъ = 0,585, уравнение ОДОЗг^0'696 + и— 0,202 = 0 имеет корень и* = 0,172, которому соответствует возраст t = 191000 лет.

В процессе вычислений есть возможность контролировать обоснованность предположений о замкнутости фракций и равенстве начальных отношений изотопов на основе, во-первых, оценки степени близости фигуративных точек к прямым-изохронам, и, во-вторых, прямого вычисления начальных активностей интегрированием уравнений распада в прошлое на величину вычисленного возраста.

При этом каждый участок описывается однотипной системой уравнений обобщенного динамического баланса

Уравнение, описывающее динамику показателей природной среды, отличается от балансовых уравнений экономики.

Имеются как сосредоточенные (описываемые в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений), так и распределенные (с уравнениями в частных производных) региональные модели.

С математической точки зрения задача нормирования ставится как задача максимизации функционала при условии, что множество достижимости управляемой динамической системы, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, включено в заданное множество.

При рассмотрении коэффициентов q$i матрицы Q в уравнении (3.

Структура природного блока модели второго уровня (вид системы уравнений) остается для каждого из ресурсов неизменной, а взаимодействие между ресурсами определяется через модель верхнего уровня.

Уравнение, описывающее его динамику, имеет вид = Qk (z) - (Ckv + Dku + FkP + D kw -R*).

Последнее слагаемое в уравнении (3.

1), по своей структуре совпадающего с ресурсным уравнением (3.

Построение моделей второго уровня 191 ления коэффициентов, исходя из их «физического» смысла, диктуемого уравнением (3.

Предположим, что в уравнении (3.

Тогда получим уравнение

Эту величину можно получить из решения линейного уравнения, замерив RI (t) в моменты времени to и ti.

Динамику этого вида можно описать следующим уравнением:

) , подчиненное дифференциальному уравнению (3.

Будем считать, что динамика изменения фондов описывается уравнениями где / и Iz — инвестиции, вычисляемые по прибыли предприятия.

Аналогичная по форме уравнений динамики демографическая модель выполнена [Матросов и др.

2) и описывается дифференциальным уравнением процессов само- восстановления и взаимного влияния характеристик здоровья, влияния производственных и экологических факторов, восстановления здоровья за счет деятельности органов здравоохранения.

Связи переменных внутри блоков и между ними описываются математическими уравнениями (как правило, имеющими вид нелинейных дифференциальных), а также экспертными соотношениями в табличной форме.

Объединенная модель строится в терминах системной динамики [Форрестер, 1971] с использованием показателей уровней и темпов, что предполагает запись исходных динамических соотношений в форме дифференциальных уравнений.

Приведем уравнения, описывающие модель воспроизводства населения, динамики трудовых ресурсов и занятости: = BR* - DR1 + MI1, at BR1 = Pl - CCB1 • BS* •

Здесь первый столбец нумерует уравнения и комментарии, второй столбец обозначает тип строки (А — уравнение, Т — собственно вектор-строка, С — константа), третий столбец содержит собственно строку.

Уравнение в строке 2.

18 не является простым алгебраическим уравнением.

Уравнение в строке 2.

Уравнение (3.

5) можно получить, решая совместно систему уравнений (3.

Подставив найденные по уравнению (3.

6), согласованные объемы капиталовложений в уравнение (3.

Центральным звеном этой модели является балансовое соотношение Леонтьева, которое записывается с учетом природоохранных взаимоотношений между предприятиями и Центром и дополняется уравнениями динамики фондов и неравенствами с однофакторными производственными функциями.

Динамическая модель леонтъевского типа 29 динамика может быть описана дифференциальными уравнениями dt dt либо их дискретными аналогами

Предположим, что при использовании «форсированных» стратегий динамика СВ г -и стороны описывается дифференциальными уравнениями a* (to) = жг°, t e [t0, а при использовании «долговременных» стратегий динамика СВ k -и стороны описывается разностными уравнениями , yf), (4.

N всех сторон, определяемые уравнениями (4.

, описываемую уравнениями (4.

При этих предположениях динамика количеств СВ нескольких сторон, претендующих на 1-й уровень обороноспособности, описывается системой уравнений: = Xi (t3) + Hi (ts} Aj (X (ts}} , Ъ G N,

Если все стороны претендуют на 1-й уровень обороноспособности по отношению к остальным сторонам и применяют «долговременные» стратегии оборонительной достаточности, приводящие к уравнениям динамики (4.

Тогда динамика вооружений описывается разностными уравнениями = xi (tk] + 0,5 [x* (x (ife)) - xi (tk)] , i G N.

В уравнениях (4.

Запишем уравнения для динамики природных ресурсов и фондов при-родовосстановительных отраслей: /77?

Во всех указанных работах математическая модель процессов возбуждения и распространения волн строится на основе теории «мелкой воды» [Стокер, 1959], которая, однако, допускает различные по степени сложности и точности конкретные варианты систем дифференциальных уравнений с частными производными.

, 1978], относительно полно изучены лишь случаи одного квазилинейного уравнения и системы из двух квазилинейных уравнений и только в одномерном варианте.

328 Гл 4- Моделирование проблем безопасности основе линейной системы одномерных гиперболических уравнений, получающейся как следствие цилиндрического сечения линейной модели «мелкой воды».

В заключение отметим, что в данном параграфе основной объем занимают исследования чисто формальной задачи оптимального управления системами многомерных гиперболических уравнений.

4-4- О применении методов оптимального управления 329 существования многочисленных приложений к описанию систем гиперболических уравнений самых различных процессов и явлений и связанных с ними задач оптимального управления [Рождественский и др.

Построение характеристического конуса сводится к интегрированию на отрезке Т нелинейного гиперболического уравнения = 0 с начальным условием /л (s, ti) = /j,(s).

Управляемый процесс {щх} с r-мерным управлением и = u(s, t] и п-мерным состоянием х = x(s, t) подчиним системе полулинейных гиперболических уравнений: га i (5, t) x8i = f (ж, и, 5, t) (4.

При исследовании задач оптимального управления, ввиду, как правило, разрывности управляющих воздействий, возникает необходимость рассматривать решения дифференциальных уравнений, определяющих допустимый процесс, в неклассическом или в обобщенном виде.

Особенно остро эта проблема стоит для систем уравнений с частными производными, где зачастую невозможно построение не только гладкого, но и просто непрерывного решения, соответствующего допустимому управлению.

После такого преобразования в каждом из уравнений системы участвуют частные производные по s и t лишь одной инварианты Римана, что позволяет рассматривать дифференциальный оператор инвариантной системы как п -мерный вектор обыкновенных производных вдоль соответствующих характеристик (аналог производной по направлению).

Поиски определения обобщенного решения, достаточно удобного и эффективного для применения именно к задачам оптимального управления, привели авторов к исследованиям по теории существования и единственности неклассических решений систем многомерных гиперболических уравнений, начало которых, по-видимому, положено Фридрихсом [Friedrichs, 1954 а, б, 1958; Lax e.

27) представляет собой один из возможных вариантов так называемых энергетических тождеств, широко используемых при исследовании симметрических гиперболических систем уравнений.

350 Гл 4- Моделирование проблем безопасности уравнений сильные или неклассические вариации управления (малость которых определяется только малостью меры области игольчатого варьирования управления) могут порождать возмущения траектории, не обладающие соответствующим порядком малости на характеристиках системы, а ими, в частности, могут являться поверхности G и G (как и любые другие регулярные внутренние гиперповерхности области Р).

В настоящее время ответы на вопросы, связанные с сильным варьированием управления вдоль характеристик, получены только для систем одномерных полулинейных гиперболических уравнений [Терлецкий, 1983].

Средством для решения этой задачи является метод математического моделирования, позволяющий уравнять материальные и нематериальные объекты путем включения их в совместные уравнения взаимного влияния друг на друга.

Первое уравнение первой строки описывает пропорциональность скорости роста Производства П вложенным в него инвестициям Ип, а второе — тот факт, что уровень развития Технологий Т влияет на объем Производства, но не непосредственно, а за счет повышения эффективности Эип прямых инвестиций в Производство (вложения

Разрешая систему уравнений (4.

Для простоты изложения уравнения (4.

Отметим, что при замене конечных уравнений первого столбца из (4.

1) более точно отражающими реальную экономическую динамику дифференциальными уравнениями тт ^ dT TT _ ,А г Л N = ИПЭИП, — = ИТЭИТ, — = ИнЭнн (4.

1 а at at at уравнения роста Н, Т и П сохраняют структуру зависимостей (4.

Для постановки задачи управления необходимо добавить к полученным явным уравнениям динамики экономики желаемые цели управления.

Уравнения (4.

К исследованию задач оптимального управления системами многомерных гиперболических уравнений // Математические методы оптимального управления и их приложения.

Уравнение динамики затрат.

Уравнения математической физики.

Асимптотическое поведение и оценки решений монотонных разностных уравнений // В кн.

Получим теперь непрерывный аналог этого уравнения.

Левая часть этого, уравнения представляет собой приращение темпа затрат за один год (оно может быть как положительным, так и отрицательным).

9) на At и перейдя к пределу при At — >• О, получим дифференциальное уравнение -Z}-Z-J- S(t, О - = Z0, (1.

При выводе уравнения (1.

Отбросим в уравнении (1.

Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.

Методы решения сеточных уравнений.

11) P(t) ^ уравнение (1.

Курс дифференциальных уравнений.

При a(t) = 1 из уравнения (1.

13) может быть получен по схеме, продемонстрированной при выводе уравнения (1.

Как и прежде, будем писать непрерывный вариант модели, ориентируясь на наибольшее «свободное» по схеме формирования затрат уравнение (1.

Уравнения (1.

20) отличаются от рассмотренных ранее уравнений (1.

6) здесь имеем динамическое уравнение (1.

2 детализации функций Аг, характеризующих природоохранные взаимоотношения, и возникающие при этом дополнительные соотношения добавляются без изменения к уравнениям (1.

8), поскольку здесь имеется не две, как ранее, а три группы дифференциальных уравнений.

В этом случае можно отбросить уравнения (1.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru